Question

如圖，Rt△OAB的斜邊OA在x軸的正半軸上，直角的頂點B在第一象限內，已知點A（10，0），△OAB的面積為20．
（1）求B點的坐標；
（2）求過O、B、A三點拋物線的解析式；
（3）判斷該拋物線的頂點P與△OAB的外接圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）過B作BC⊥OA于C，根據三角形OAB的面積可求出BC=4，然后可設OC=x，根據射影定理可得出BC²=OC•AC，據此可求出x的值，即可得出B點坐標；
（2）已知了三點的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）根據拋物線和圓的對稱性可知，P和三角形OAB的外心必在拋物線的對稱軸上，因此本題只需判斷P點的縱坐標的絕對值與OA的一半的大小關系，如果|y_P|大于5，則頂點P在圓外，如果|y_P|小于5，則在園內，如果等于5，則在圓上．

解答：解：（1）過B作BC⊥OA于C，
∵S_△OAB=

1

2

OA•BC=20，OA=10，
∴BC=4
在直角三角形ABO中，BC⊥OA，
設OC=x，根據射影定理有：
BC²=OC•AC，即16=x（10-x），解得x=2，x=8
因此B（2，4）；

（2）設拋物線的解析式為y=ax（x-10），
已知拋物線過B（2，4），有：
a×2×（2-10）=4，a=-

1

4

∴所求的拋物線解析式為：y=-

1

4

x²+

5

2

x；

（3）由（2）可知：y=-

1

4

（x-5）²+

25

4

因此P（5，

25

4

）
∵

25

4

＞5
∴頂點P在外接圓外．

點評：本題主要考查了二次函數、圓、直角三角形的相關知識．