Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，點E在AC上，以AE為直徑的⊙O經過點D．

（1）求證：①BC是⊙O的切線；②CD2＝CECA；

（2）若點F是劣弧AD的中點，且CE＝3，試求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）.

【解析】

（1）①證明DO∥AB，即可求解；

②證明CDE∽△CAD，即可求解；

（2）證明△OFD、△OFA是等邊三角形，S陰影=S扇形DFO，即可求解．

（1）①連接OD，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠DAB＝∠DAO，

∵OD＝OA，

∴∠DAO＝∠ODA，

∴∠DAO＝∠ADO，

∴DO∥AB，而∠B＝90°，

∴∠ODB＝90°，

∴BC是⊙O的切線；

②連接DE，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠CDE＝∠DAC，

∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴，

∴CD2＝CECA；

（2）連接DF、OF，

設圓的半徑為r，

∵點F是劣弧AD的中點，

∴是OF是DA中垂線，

∴DF＝AF，

∴∠FDA＝∠FAD，

∵DO∥AB，

∴∠PDA＝∠DAF，

∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，

∴AF＝DF＝OA＝OD，

∴△OFD、△OFA是等邊三角形，

∴∠C＝30°，

∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，

∴CE＝OE＝r＝3，

S陰影＝S扇形DFO＝×π×32＝．