Question

如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，底部寬度OM為12米，現以O點為原點，OM所在的直線為x軸建立直角坐標系．
（1）求這條拋物線的解析式（不必寫x的取值范圍）；
（2）若要搭建一個矩形支架AD-DC-CB（由三段組成）使C、D在拋物線上，A、B在地面OM上，則這個支架總長L的最大值是多少米？

Answer 1

分析：（1）先根據所建坐標系求出頂點P的坐標，再設解析式為頂點式，把原點O的坐標代入，運用待定系數即可求出解析式；
（2）總長由三部分組成，根據它們之間的關系可設A點坐標為（m，0），用含m的式子表示三段的長，再求其和的表達式，然后運用函數的性質求解．

解答：解：（1）∵某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，
∴頂點P的縱坐標為6，
又∵底部寬度OM為12米，
∴頂點P的橫坐標也為6，
∴P（6，6）．
設拋物線的解析式為：y=a（x-6）²+6．
∵拋物線y=a（x-6）²+6經過點（0，0），
∴0=a（0-6）²+6，解得a=-

1

6

．
∴拋物線解析式為：y=-

1

6

（x-6）²+6，即y=-

1

6

x²+2x；

（2）設A（m，0），則B（12-m，0），C（12-m，-

1

6

m²+2m），D（m，-

1

6

m²+2m）．
則“支撐架”總長：AD+DC+CB=（-

1

6

m²+2m）+（12-2m）+（-

1

6

m²+2m）
=-

1

3

m²+2m+12
=-

1

3

（m-3）²+15．
∵此二次函數的圖象開口向下．
∴當m=3米時，AD+DC+CB有最大值為15米．

點評：本題考查了二次函數的應用，難度在第（2）問，要分別求出三部分的表達式再求其和．關鍵在于根據圖形特點選取一個合適的參數表示它們，得出關系式后運用函數性質來解．