Question

【題目】如圖，已知A（2，0），B（1，m2﹣4m+5）．

（1）直接判斷△ABO是什么圖形；
（2）如果S△ABO有最小值，求m的值；
（3）拋物線y=﹣（x﹣2）（x﹣n）經過點B且與y軸交于點C，與x軸交于兩點A，D．
①用含m的式子表示點C和點D坐標；
②點P是拋物線上x軸上方任一點，PQ∥BD交x軸于點Q，將△ABO向左平移到△A′B′O′，點A，B，O的對應點分別是A′，B′，O′，當點A'與點D重合時，點B'在線段PQ上，如果點P恰好是拋物線頂點，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（2，0），B（1，m2﹣4m+5），

∴點B在線段OA的垂直平分線上，

∴OB=AB，

∴△ABO 是等腰三角形

（2）

解：∵S△ABO= ×2×（m2﹣4m+5）=m2﹣4m+5=（m﹣2）2+1，

∴當m=2時，S△ABO 有最小值

（3）

解：①把B（1，m2﹣4m+5）代入

y=﹣（x﹣2）（x﹣n）得m2﹣4m+5=﹣（1﹣2）（1﹣n），

∴n=﹣（m﹣2）2，

∴y=﹣x2+（﹣m2+4m﹣2）x+2（m﹣2）2，

令x=0，則y=2（m﹣2）2，

∴C（0，2（m﹣2）2），

∴D（﹣（m﹣2）2，0），

②∵B（1，m2﹣4m+5）、D（﹣（m﹣2）2，0），

∴直線DB的解析式為y=x+（m﹣2）2，

∴B'（﹣（m﹣2）2﹣1，（m﹣2）2+1 ），

∴直線PQ的解析式為y=x+2（m﹣2）2+2，

∵頂點P（ ，2（m﹣2）2+ ），

∵P點在直線PQ上，

∴2（m﹣2）2+ ）= +2（m﹣2）2+2，

∵n=﹣（m﹣2）2，

∴n2+2n﹣8=0

∵n=﹣（m﹣2）2，

∴n2+2n﹣8=0，

解得n1=2，n2=﹣4，

∴﹣（m﹣2）2=2（舍去）或（m﹣2）2=4，

∴m1=4，m2=0

【解析】（1）由B點橫坐標可知點B在線段OA的垂直平分線上，可知OB=AB，可得出答案；（2）用m可表示出△ABO的面積，利用二次函數的性質可求得其取得最小值時的m的值；（3）①把B點坐標代入拋物線解析式可用m表示出n的值，則可求得C、D的坐標；②由B、D坐標可表示出直線BD解析式，由平移可表示出B′的坐標，從而可用m表示出直線PQ的解析式，再由m表示出P點坐標，代入直線PQ解析式，則可得到關于m的方程，可求得m的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．