Question

如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M(－2，－1)，且P(－1，－2)是雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．

圖1

(1)寫出正比例函數和反比例函數的關系式；

(2)當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等?如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；

(3)如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．

圖2

Answer 1

(1)設正比例函數解析式為y＝kx，將點M(－2，－1)坐標代入得，所以正比例函數解析式為，同樣可得，反比例函數解析式為；

(2)當點Q在直線MO上運動時，設點Q的坐標為，于是S_△OBQ＝

｜OB·BQ｜＝·m·m＝m²而S_OAP＝｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，，

解得m＝±2所以點Q的坐標為Q₁(2，1)和Q₂(－2，－1)；

(3)因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而點P(－1，－2)是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．

因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標Q(n，)，

由勾股定理可得OQ²＝n²＋＝(n－)²＋4，

所以當(n－)²＝0即n－＝0時，OQ²有最小值4，

又因為OQ為正值，所以OQ與OQ₂同時取得最小值，

所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2(OP＋OQ)＝2(＋2)＝2＋4．