Question

8．如圖，已知AE 平分∠BAC，$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$．
（1）求證：∠E=∠C；
（2）若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由AE 平分∠BAC，得到∠BAE=∠EAC，根據三角形角平分線的到來得到$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，得到$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，推出△ABE∽△ADC，根據相似三角形的性質即可得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得到$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC}$，列方程即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AE 平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC，
又∵$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，得到$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠E=∠C；

（2）解：∵△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC}$，
設BE=x，
∵$\frac{9}{5}=\frac{x}{3}$，
∴$x=\frac{27}{5}$，即BE=$\frac{27}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．