Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=5cm，E為對角線BD上一動點，連接AE、CE，過E點作EF⊥AE，交直線BC于點F，E點從B點出發，沿BD方向以每秒1cm的速度運動，當點E與點D重合時，運動停止．設△BEF的面積為ycm2，E點的運動時間為x秒．

（1）點E在整個運動過程中，試說明總有：CE=EF；

（2）求y與x之間關系的表達式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=

【解析】

（1）分兩種情況：點F在BC的延長線上和在BC邊上，在BC的延長線上時，作輔助線，構建三角形全等，證明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDE（SAS），可得AE=CE=EF；在BC邊上時，同理可證明∠BAE=∠CFE，再證明△BEA≌△BEC得∠BAE=∠BCE，所以∠CFE=∠FCE，故可得結論；

（2）分兩種情況：根據三角形的面積公式可得y與x之間關系的函數表達式，根據勾股定理計算BD的長可得x的取值．

（1）證明：如圖1，過E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB⊥AD，

∴MN⊥AD，MN⊥BC，

∴∠AME=∠FNE=90°=∠NFE+∠FEN，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°，

∴∠AEM=∠NFE，

∵∠DBC=45°，∠BNE=90°，

∴BN=EN=AM，

∴△AEM≌△EFN（AAS），

∴AE=EF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，

∵DE=DE，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴AE=CE，

∴CE=EF；

如圖2，同理可證明∠BAE=∠CFE,

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ABE=∠CBE=45°

又AB=CB，BE=BE

∴△BEA≌△BEC

∴∠BAE=∠BCE

∴∠CFE=∠FCE

∴CE=FE

因此，點E在整個運動過程中，總有：CE=EF；

（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，

∴，

由題意得：BE=2x，

∴，

由（1）知：AE=EF=EC，

分兩種情況：

①當時，如圖3，

∵AB=MN=10，

∴ME=FN=10-x，

∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，

∴；

②當時，如圖4，過E作EN⊥BC于N，

∴EN=BN=x，

∴FN=CN=10-x，

∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，

∴；

綜上，y與x之間關系的函數表達式為： y=