Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+6x與x軸交于O，A兩點，與直線y=2x交于O，B兩點．點P在線段OA上以每秒1個單位的速度從點O向終點A運動，作EP⊥x軸交直線OB于E；同時在線段OA上有另一個動點Q，以每秒1個單位的速度從點A向點O運動（不與點O重合）．作CQ⊥x軸交拋物線于點C，以線段CQ為斜邊作如圖所示的等腰直角△CQD．設運動時間為t秒．

（1）求點B的坐標；

（2）當t=1秒時，求CQ的長；

（3）求t為何值時，點E恰好落在△CQD的某一邊所在的直線上．

Answer 1

【答案】（1）（4，8）．（2）CQ的長為5．（3）當t=1.5或3﹣或3或3+時，點E恰好落在△CQD的某一邊所在的直線上．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線與直線相交，聯立找出關于x的一元二次方程，解方程即可得出結論；

（2）找出當t=1時，C點的橫坐標，代入拋物線即可得出C點的縱坐標，C點的縱坐標的絕對值即CQ的長度；

（3）用t表示出E點的坐標，以及線段DQ、CD、CQ所在的直線解析式，由點在直線上，即可解出t的值．

解：（1）∵拋物線y=﹣x2+6x與與直線y=2x交于O，B兩點，

∴2x=﹣x2+6x，解得：x=0（舍去），x=4，

當x=4時，y=2×4=8．

故點B的坐標為（4，8）．

（2）∵拋物線y=﹣x2+6x與x軸交于O，A兩點，

∴﹣x2+6x=0，解得：x=0（舍去），x=6，

即點A的坐標為（6，0）．

當t=1時，點C橫坐標x=6﹣1=5，

點C縱坐標y=﹣52+5×6=5．

故點C坐標為（5，5），

即當t=1秒時，CQ的長為5．

（3）過點D作DF⊥CQ于點F，如圖所示．

當時間為t時，E點坐標為（t，2t），C點坐標為（6﹣t，6t﹣t2）．

∵△CQD為等腰直角三角形，且CQ⊥x軸，

∴DF∥x軸，且∠CDF=∠QDF=45°，

∴Q點坐標為（6﹣t，0），

設CD所在的直線解析式為y=x+b1，DQ所在的直線解析式為y=﹣x+b2．

結合C、Q點的坐標可知：，

解得：．

故CD所在直線的解析式為y=x﹣t2+7t﹣6，DQ所在的直線解析式為y=﹣x﹣t+6，

而CQ所在直線的解析式為x=6﹣t．

當點E在CD所在的直線上時，有2t=t﹣t2+7t﹣6，

解得：t=3±；

當點E在DQ所在的直線上時，有2t=﹣t﹣t+6，

解得：t=1.5；

當點E在CQ所在的直線上時，有t=6﹣t，

解得：t=3．

綜上可知：當t=1.5或3﹣或3或3+時，點E恰好落在△CQD的某一邊所在的直線上．