Question

（2008•朝陽區一模）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，則稱這個四邊形為等平方和四邊形，
（1）寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱：

菱形或正方形

，
（2）如圖（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足為O．求證：AD²+BC²=AB²+DC²，即四邊形ABCD是等平方和四邊形．

（3）如果將圖（1）中的△AOD繞點O按逆時針方向旋轉α度（0＜α＜90）后得到圖（2），那么四邊形ABCD能否成為等平方和四邊形？若能，請你證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）據題中定義，只要鄰邊相等的平行四邊形即符合要求，則菱形或正方形都符合要求．
（2）根據AC⊥BD和勾股定理易證得AD²+BC²=AB²+DC²即四邊形ABCD是等平方和四邊形．
（3）作出原梯形A′BCD′，連接AC、BD交于O′，首先證明A′OD′∽△COB，再證明△AOC∽△DOB，可得∠AOD=∠AOD=90°，以下同（2）的證法即得到AD²+BC²=AB²+DC²即四邊形ABCD是等平方和四邊形．

解答：解：（1）菱形或正方形；（1分）

（2）證明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°
∴OA²+OD²=AD²；OB²+OC²=BC²；OA²+OB²=AB²；OD²+OC²=DC²．
∴AD²+BC²=AB²+DC²即四邊形ABCD是等平方和四邊形．（3分）

（3）解：四邊形ABCD是等平方和四邊形．
證明：原梯形記為A′BCD′，
依題意旋轉后得四邊形ABCD，連接AC、BD交于點O′，

∵A′D′∥BC，
∴A′OD′∽△COB，
∴

OA′

OC

=

OD′

OB

，
∵OA′=OA，OD′=OD，
∴

OA

OC

=

OD

OB

，
∵∠AOA'=∠DOD'=α，
∴∠AOC=∠DOB=180°-α，
又∵

OA

OC

=

OD

OB

，
∴△AOC∽△DOB；（5分）
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4，
∴∠AO′D=∠AOD=90°，
由（2）的結論得：AD²+BC²=AB²+DC²．
即四邊形ABCD是等平方和四邊形．（7分）

點評：本題考查學生對一個新的定義的理解，涉及到相似三角形的判定及性質、勾股定理的、菱形、正方形的性質等知識點，是一道考查學生綜合能力的好題．