Question

【題目】問題發現：

（）如圖①，點和點均在⊙上，且，點和點均在射線上，若，則點與⊙的位置關系是__________；若，則點與⊙的位置關系是__________．

問題解決：

如圖②，圖③所示，四邊形中， ， ， ，且， ，點是邊上任意一點．

（）當時，求的長度．

（）是否存在點，使得最大?若存在，請說明理由，并求出的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（）點在圓上，點在圓外；（）或；（）當有最大值時， 長為．

【解析】試題分析：（1）根據題意得：點在圓上，點在圓外；

（2）以AD為斜邊等腰直角三角形AOD ，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O交BC于點E．在RtΔAOD中可計算OA=2，連接OP，則OP=PA=2，過點作于點，可求出BO=2，再進而求出BC的值，確定點P的個數；

（3）存在.

試題解析：（1）點在圓上，點在圓外；

（）以為斜邊等腰直角三角形，

以點為圓心， 為半徑作⊙交于點．

在中，∵，∴ ，

連接，則，過點作于點，

∵， ，∴ ．

又∵，∴四邊形為矩形，

∴， ．

在中， ，

∴．

又∵經計算，

∴符合條件的點有個．

的長為或．

（）存在，作的中垂線，交于，交于，在上取點，

以為半徑作⊙，當⊙與相切于點時， 最大．

理由:在上任取一點，連接， 交⊙于，連接，

∵是的外角，

∴，

連接，延長與的延長線交于點．

∵， ，∴ ，

∴和均為等腰直角三角形．

∴， ， ．

∵， ，

∵⊙與相切于點，

∴，∴ ，

又∵，

∴為等腰直角三角形．

∴設，則，

在中， ，

∴，

解得： （舍），，

∴，

∴當有最大值時， 長為．