Question

21、如圖所示，AB是⊙O直徑，OD過弦BC的中點F，且交⊙O于點E，若∠AEC=∠ODB．求證：直線BD和⊙O相切．

Answer 1

分析：要證直線BD和⊙O相切，通過∠BOD=∠BAC，因為∠BAC+∠ABC=90°，所以證明OB⊥BD即可．

解答：證明：連接AC，
∴∠AEC=∠ABC，
∵∠AEC=∠ODB，
∴∠ODB=∠ABC．
∵O，F分別是AB，BC的中點，
∴AC∥OD，
∴∠BOD=∠BAC．
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠ODB+∠BOD=90°．
∴OB⊥BD，即直線BD和⊙O相切．

點評：熟練掌握切線的性質及判定．