Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：

（1）P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（2）設E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發，沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少？(直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x2-x+3．tan∠BAC；（Ⅱ）（1）（11，36）、（，）、（，）；（2）點E的坐標為（2，1）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）只需把A、C兩點的坐標代入y=x2+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點B的坐標，過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，從而得到∠ACB=90°，然后根據三角函數的定義就可求出tan∠BAC的值；

（Ⅱ）（1）過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設點P的橫坐標為x，由P在y軸右側可得x＞0，則PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若點G在點A的下方，①當∠PAQ=∠CAB時，△PAQ∽△CAB．此時可證得△PGA∽△BCA，根據相似三角形的性質可得AG=3PG=3x．則有P（x，3-3x），然后把P（x，3-3x）代入拋物線的解析式，就可求出點P的坐標②當∠PAQ=∠CBA時，△PAQ∽△CBA，同理，可求出點P的坐標；若點G在點A的上方，同理，可求出點P的坐標；（2）過點E作EN⊥y軸于N，如圖3．易得AE=EN，則點M在整個運動中所用的時間可表示為．作點D關于AC的對稱點D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，從而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根據兩點之間線段最短可得：當D′、E、N三點共線時，DE+EN=D′E+EN最小．此時可證到四邊形OCD′N是矩形，從而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出點D的坐標，從而得到OD、ON、NE的值，即可得到點E的坐標．

試題解析：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得

，解得：．

∴拋物線的解析式為y=x2-x+3．

聯立，解得：或，

∴點B的坐標為（4，1）．

過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．

∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，

∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，

∴∠BCH=45°，BC=．

同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，

∴tan∠BAC=；

（Ⅱ）（1）存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似．

過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．

設點P的橫坐標為x，由P在y軸右側可得x＞0，則PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠ACB=90°．

若點G在點A的下方，

①如圖2①，當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴．

∴AG=3PG=3x．

則P（x，3-3x）．

把P（x，3-3x）代入y=x2-x+3，得

x2-x+3=3-3x，

整理得：x2+x=0

解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）．

②如圖2②，當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG=PG=x，則P（x，3-x），

把P（x，3-x）代入y=x2-x+3，得

x2-x+3=3-x，

整理得：x2-x=0

解得：x1=0（舍去），x2=，

∴P（，）；

若點G在點A的上方，

①當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB，

同理可得：點P的坐標為（11，36）．

②當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：點P的坐標為P（，）．

綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（11，36）、（，）、（，）；

（2）過點E作EN⊥y軸于N，如圖3．

在Rt△ANE中，EN=AEsin45°=AE，即AE=EN，

∴點M在整個運動中所用的時間為．

作點D關于AC的對稱點D′，連接D′E，

則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，

∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

根據兩點之間線段最短可得：

當D′、E、N三點共線時，DE+EN=D′E+EN最小．

此時，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，

∴四邊形OCD′N是矩形，

∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．

對于y=x2-x+3，

當y=0時，有x2-x+3=0，

解得：x1=2，x2=3．

∴D（2，0），OD=2，

∴ON=DC=OC-OD=3-2=1，

∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，

∴點E的坐標為（2，1）．