Question

【題目】如圖，圓內接四邊形ABDC，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC于E．

（1）求證：∠BCD=∠CBD；

（2）若BE=4，AC=6，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）2.

【解析】

（1）根據OD⊥BC于E可知，所以BD=CD，故可得出結論；

（2）先根據圓周角定理得出∠ACB=90°，再OD⊥BC于E可知OD∥AC，由于點O是AB的中點，所以OE是△ABC的中位線，故,在Rt△OBE中根據勾股定理可求出OB的長，故可得出DE的長，進而得出結論．

解：（1）∵OD⊥BC于E，

∴，

∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD⊥BC于E，
∴OD∥AC，
∵點O是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，

在Rt△OBE中，
∵BE=4，OE=3，

，即OD=OB=5，
∴DE=OD-OE=5-3=2．