Question

【題目】已知如圖：在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于G，E為DC延長線上一點，BE交⊙O于點F．

（1）求證：∠EFC＝∠BFD；

（2）若F為半圓弧AB的中點，且2BF＝3EF，求tan∠EFC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接BD，圓心角、弧、弦間的關系得到∠BFD＝∠CDB；根據鄰補角的定義和園內接四邊形對角互補的性質推知∠EFC＝∠CDB，則∠EFC＝∠BFD；

（2）如圖，連OF，OC，BC，由于∠EFC所在的三角形不是直角三角形，欲求求正切值，需要將其轉化為求∠BCG的正切值，據此推知相關線段的長度即可．

（1）證明：如圖，連接BD，

∵AB⊥CD 且AB為直徑，

∴弧CB=弧BD．

∴∠BFD＝∠CDB．

又∵∠EFC+∠CFB＝180°，

而∠CFB+∠CDB＝180°，

∴∠EFC＝∠CDB，

∴∠EFC＝∠BFD；

（2）解：如圖，連OF，OC，BC，

∵弧CB=弧BD，

∴∠DCB＝∠CDB，

∵∠EFC＝∠CDB，

∴∠EFC＝∠BFD＝∠BCG，

又F為半圓AB的中點，

∴∠FOB＝∠FOA＝90°，

∴OF//CD，

∴OG：OB＝EF：FB＝2：3．

設OG＝2x，則OB＝OC＝3x，則CG＝x，

∴tan∠EFC＝tan∠BCG＝＝．