Question

【題目】在△ABC中， , .將△ABC繞點順時針旋轉，得到△A1B1C.

（1）如圖1，當點恰好在線段的延長線上時，

①求證：BB1∥CA1;

②求△AB1C的面積;

（2）如圖2，點是上的中點，點為線段上的動點.在△ABC繞點順時針旋轉過程中，點的對應點是.求線段長度的最大值與最小值的差.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）①根據旋轉的性質和平行線的性質證明；

②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，根據等腰三角形的性質和三角形的面積公式解答；

（2）過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，和以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1，得出最大和最小值解答即可．

試題解析：（1）①證明：∵AB=AC，B1C=BC，

∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠AB1C=∠ACB（旋轉角相等），

∴∠B1CA1=∠AB1C，

∴BB1∥CA1；

②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，如圖1：

∵AB=AC，AF⊥BC，BC=6，

∴BF=CF=3，

∴B1C=BC=6，

可得：B1B=2BE，

∵EC=，

∴BE=，則BB1=，

故AB1=﹣5=，

∴△AB1C的面積為： ；

（2）如圖2，過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，EF1有最小值，

此時在Rt△BFC中，CF=，

∴CF1=，

∴EF1的最小值為﹣3=；

如圖，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1，EF1有最大值；

此時EF1=EC+CF1=3+6=9，

∴線段EF1的最大值與最小值的差為9﹣=．