Question

【題目】閱讀理解：在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下定義：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1﹣y2|．

例如：點P1（1，1），點P2（2，3），因為|1﹣2|＜|1﹣3|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|1﹣3|＝2，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點）．

（1）已知點A（-，0），B為y軸上的一個動點．

①若點B（0，3），則點A與點B的“非常距離”為______；

②若點A與點B的“非常距離”為2，則點B的坐標為_______；

③直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值為_______；

（2）已知點D（0，1），點C是直線y＝﹣x+3上的一個動點，如圖2，求點C與點D“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①3；②（0，2）或（0，﹣2）；③；（2）（，）.

【解析】

（1）根據“非常距離”的定義分別計算|x1﹣x2|與|y1﹣y2|，即可得答案；②根據點B位于y軸上，設點B的坐標為（0，y）．由“非常距離”的定義求得y的值即可；③分別討論-≤y≤時和y<-或y>時A與B的“非常距離”即可得答案；（2）設點C的坐標為(x0，-x0+3)．根據材料“若，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，據此可以求得點C的坐標；

（1）①，|0﹣3|＝3，

∵<3，

∴點A與點B的“非常距離”為3，

②∵B為y軸上的一個動點，

∴設點B的坐標為（0，y）．

∵≠2，

∴|0﹣y|＝2．

解得，y＝2或y＝﹣2；

∴點B的坐標是（0，2）或（0，﹣2），

③設點B坐標為（0，y），

當-≤y≤時，|0﹣y|≤，

∴“非常距離”為，

當y<-或y>時，|0﹣y|>

∴“非常距離”為|y|>，

∴點A與點B的“非常距離”的最小值為，

故答案為：3，（0，2）或（0，﹣2），

（2）如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，

根據運算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的‘非常距離’為|x1﹣x2|”解答，

此時|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC=AD，

∵C是直線y=-x+3上的一個動點，點D的坐標是（0，1），

∴設點C的坐標為(x0，-x0+3)，則

∴或x0＝6，

∴或|x0﹣0|＝6．

∵<6，

∴點C與點D的“非常距離”的最小值為，

∴-×+3=，

∴C(，)，