Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的"距離"，記作d(M，N) ． 特別的，當圖形M，N有公共點時，記作d(M，N)=0.一次函數y=kx+2的圖像為L，L 與y 軸交點為D, △ABC中，A（0，1），B（-1，0），C（1，0）．

（1）求d(點 D , △ABC)= ；當k=1時，求d( L , △ABC)= ；

（2）若d(L, △ABC)=0.直接寫出k的取值范圍；

（3）函數y=x+b的圖像記為W , 若d(W，△ABC) 1 ,求出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）d(點 D , △ABC)=1 ， d( L , △ABC)= ;（2）k≥2或k≤-2 .;（3）d(W，△ABC) 1時，-1- b 1+.

【解析】

（1）根據新定義，轉化為實際是求點D到點A的距離，當k＝1時，求d（L，△ABC）實際是求兩條平行線之間的距離，通過作垂線，轉化為直角三角形用勾股定理求得；

（2）若d（L，△ABC）＝0就是求直線L與三角形ABC有公共點，可以先考慮僅有一個公共點時k的值，然后根據一次函數的性質，求得k的取值范圍；

（3）函數y＝x＋b的圖象記為W，若d（W，△ABC）≤1就是求W到三角形ABC的距離小于或等于1，可以先求距離為1時的b的值，然后根據一次函數的性質，求得b的取值范圍．

解：（1）一次函數y＝kx＋2的圖象與y軸交點D（0，2），

d（點D，△ABC）表示點D到△ABC的最小距離，就是點D到點A的距離，即：AD＝21＝1，

∴d（點D，△ABC）＝1

當k＝1時，直線y＝x＋2，此時直線L與AB所在的直線平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，

d（L，△ABC）表示直線L到△ABC的最小距離，就是圖中的AF，

在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×，d（L，△ABC）＝，

故答案為：1，；

（2）若d（L，△ABC）＝0．說明直線L：y＝kx＋2與△ABC有公共點，因此有兩種情況，即：k＞0或k＜0，僅有一個公共點時如圖所示，

即直線L過B點，或過C點，

此時可求出k＝2或k＝2，根據直線L與△ABC有公共點，

∴k≥2或k≤2，

答：若d（L，△ABC）＝0時．k的取值范圍為：k≥2或k≤2．

（3）函數y＝x＋b的圖象W與x軸、y軸交點所圍成的三角形是等腰直角三角形，并且函數y＝x＋b的圖象與AB平行，

當d（W，△ABC）＝1時，如圖所示：

在△AGM中，AG＝GM＝1，則AM＝，OM＝1＋，M（0，1＋）；即：b＝1＋；

同理：OQ＝OP＝1＋，Q（0，1），即：b＝1，

若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之間，

∴1≤b≤1＋，

答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范圍為：1≤b≤1＋．