Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠A=30°，點P從點A出發以2cm/s的速度沿折線A—C—B運動，點Q從點A出發以a(cm/s)的速度沿AB運動，P，Q兩點同時出發，當某一點運動到點B時，兩點同時停止運動.設運動時間為x(s)，△APQ的面積為y(cm2)，y關于x的函數圖象由C1 ， C2兩段組成，如圖2所示.

（1）求a的值；
（2）求圖2中圖象C2段的函數表達式；
（3）當點P運動到線段BC上某一段時△APQ的面積，大于當點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積，求x的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）

解：在圖1中，過P作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，PA=2x，

∴PD=PA·sin30°=2x· =x，

∴y= = .

由圖象得，當x=1時，y= ，則 = .

∴a=1.

（2）

解：當點P在BC上時（如圖2），PB=5×2-2x=10-2x.

∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB，

∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB.

由圖象得，當x=4時，y= ,

∴ ×4×（10-8）·sinB= ，

∴sinB= .

∴y= x·（10-2x）· = .

（3）

解：由C1，C2的函數表達式，得 = ，

解得x1=0（舍去），x2=2，

由圖易得，當x=2時，函數y= 的最大值為y= .

將y=2代入函數y= ，得2= .

解得x1=2，x2=3，

∴由圖象得，x的取值范圍是2<x<3.

【解析】（1）C1段的函數解析式是點P在AC線段時y與x的關系，由S= AQ·（AQ上的高），而AQ=ax，由∠A=30°，PA=2x，可過P作PD⊥AB于D，則PD=PA·sin30°=2x· =x，則可寫出y關于x的解析式，代入點（1， ）即可解出；（2）作法與（1）同理，求出用sinB表示出PD，再寫出y與x的解析式，代入點（4， ），即可求出sinB，即可解答；（3）題中表示在某x的取值范圍內C1<C2 ， 即此時C2的y值大于C1的y值的最大值，由圖易得，當x=2時，函數y= 的最大值為y= .將y=2代入函數y= ，求出x的值，根據函數y= ，的開口向下，則可得x的取值范圍.
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．