Question

【題目】如圖，矩形的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（10，8），沿直線OD折疊矩形，使點A正好落在BC上的E處，E點坐標為（6，8），拋物線經過O、A、E三點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求AD的長；

（3）點P是拋物線對稱軸上的一動點，當△PAD的周長最小時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）5；（3）．

【解析】

（1）∵四邊形ABCD是矩形，B（10，8），∴A（10，0），又拋物線經過A、E、O三點，設拋物線解析式為，把E（6，8）代入可得：，解得：，∴，即，∴拋物線的解析式為；

（2）由題意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，設AD=x，則ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知，即，解得x=5，∴AD=5；

（3）∵，∴其對稱軸為x=5，∵A、O兩點關于對稱軸對稱，∴PA=PO，當P、O、D三點在一條直線上時，PA+PD=PO+PD=OD，此時△PAD的周長最小，如圖，連接OD交對稱軸于點P，則該點即為滿足條件的點P，由（2）可知D點的坐標為（10，5），設直線OD解析式為y=kx，把D點坐標代入可得5=10k，解得k=，∴直線OD解析式為，令x=5，可得y=，∴P點坐標為（5，）．