Question

（2012•南平模擬）如圖，有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊長BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等，把該套三角板放置在平面直角坐標系中，且OB=3

3

．
（1）若雙曲線的一個分支恰好經過點A，求雙曲線的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后，斜邊OA恰好與x軸重疊，點A落在點A′，試求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）根據tan30°=

AB

3 3

，求出AB，進而求出OA，得出A的坐標，設過A的雙曲線的解析式是y=

k

x

，把A的坐標代入求出即可；
（2）求出∠AOA′，根據扇形的面積公式求出扇形AOA′的面積，求出OD、DC長，求出△ODC的面積，相減即可求出答案．

解答：（1）解：∵∠ABO=90°，OB=3

3

，∠AOB=30°，
∴tan30°=

AB

3 3

，
∴AB=3，
∴OA=2AB=6，
∴A的坐標是（3，3

3

），
設過A的雙曲線的解析式是y=

k

x

，
把A的坐標代入得：k=9

3

，
∴雙曲線的解析式是y=

9 3

x

．

（2）解：∵∠AOA′=90°-30°=60°，OA=6，
∴扇形AOA′的面積是：

60π×62

360

=6π，
∵△DOC是等腰直角三角形，OC=3

3

，
∴sin45°=

DC

3 3

，
∴DC=OD=

3 6

2

，
∴△ODC的面積是：

1

2

×OD×DC=

1

2

×

3 6

2

×

3 6

2

=

27

4

，
∵陰影部分的面積等于扇形的面積減去△ODC的面積，
∴陰影部分的面積是6π-

27

4

．

點評：本題考查的知識點是求扇形的面積、求三角形的面積、解直角三角形、含30度角的直角三角形，主要考查學生運用這些性質進行計算的能力，題目具有一定的代表性，難度也適中，是一道比較好的題目．