Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，b），點B（a，0），點D（-2，0），其中a、b滿足， DE⊥x軸，且∠BED=∠ABO，直線AE交x軸于點C.

⑴ 分別求出點A、B的坐標；

⑵ 求證：△AOB≌△BDE，并求出點E的坐標

⑶ 若以AB為腰在第一象限內構造等腰直角△ABF，直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】⑴ 點A（0，3）；點B（1，0）；⑵見解析，E（-2，1）；⑶（3，4）或（4，1）

【解析】

（1）根據算術平方根的非負性和絕對值的非負性，即可求出a、b，從而求出點A、B的坐標；

（2）根據點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（1，0），點D的坐標為（-2，0），即可求出OA、OB、OD的長，從而證出OA= DB，再利用AAS即可證出：△AOB≌△BDE，從而得到OB=DE=1，最后即可求出E點坐標；

（3）根據等腰直角三角形腰的情況分類討論：①若AB=AF，且∠BAF=90°時，過點F作FG⊥y軸于G，利用AAS證出△AOB≌△FGA，從而得到OB=GA=1，AO=FG=3，即可求出GO，從而求出F點坐標；②若AB=BF，且∠ABF=90°時，過點F作FG⊥x軸于G，原理同上.

解：（1）∵

∴

解得：

∴點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（1，0）；

（2） ∵點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（1，0），點D的坐標為（-2，0）

∴OA=3，OB=1，OD=2

∴DB= OD+ OB=3

∴OA= DB

在△AOB和△BDE中

∴△AOB≌△BDE

∴OB=DE=1

∵E點在第二象限

∴點E坐標為（-2，1）

（3） ①若AB=AF，且∠BAF=90°時，過點F作FG⊥y軸于G，如下圖所示

∴∠GAF＋∠OAB=90°，∠GAF＋∠GFA =90°

∴∠OAB=∠GFA

在△AOB和△FGA中

∴△AOB≌△FGA

∴OB=GA=1，AO=FG=3

∴GO= GA+ AO=4

此時點F的坐標為：（3，4）；

②若AB=BF，且∠ABF=90°時，過點F作FG⊥x軸于G

同理可證：△AOB≌△BGF

∴OB=GF=1，AO=BG=3

∴OG=OB+BG=4

此時點F的坐標為：（4，1）

綜上所述：點F的坐標為（3，4）或（4，1）