Question

【題目】如圖1所示，點E、F在線段AC上，過E，F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F；DE，BF分別在線段AC的兩側，且AE=CF，AB=CD，BD與AC相交于點G.

(1)求證：EG=GF；

(2)若點E在F的右邊，如圖2時，其余條件不變，上述結論是否成立？請說明理由.

(3)若點E、F分別在線段CA的延長線與反向延長線上，其余條件不變，(1)中結論是否成立？(要求：在備用圖中畫出圖形，直接判斷，不必說明理由)

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析；(3)成立，圖形見解析.

【解析】

(1)先利用HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE，從而得到ED=FB，然后再根據AAS證明△BFG≌△DGE，從而可證得EG=FG；

(2)先證AF=EC，然后利用HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE，從而得到BF=DE，然后利用AAS證明△BFG≌△DGE，從而可得到EG=FG；

(3)先根據要求畫出圖形，然后依據HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE，從而得到BF=DE，然后利用AAS證明△BFG≌△DGE，從而可得到EG=FG.

解：(1)證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEG=∠BFG=90°.

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF.

∴AF=CE.

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，

∴BF=DE.

在△BFG和△DEG中，

∴△BFG≌△DGE(AAS).

∴EG=FG.

(2)解：(1)中結論依然成立.

理由如下：∵AE=CF，

∴AE﹣EF=CF﹣EF.

∴AF=CE.

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEG=∠BFG=90°.

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).

∴BF=DE.

在△BFG和△DEG中，

∴△BFG≌△DGE(AAS).

∴EG=FG.

(3)(1)中結論依然成立.

如圖所示：

理由如下：∵AE=CF，

∴AE+AC=CF+AC.

∴CE=AF.

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEG=∠BFA=90°.

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).

∴BF=DE.

在△BFG和△DEG中，

∴△BFG≌△DGE(AAS).

∴EG=FG.