Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O，且AC平分∠DAB．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AC=8，BD=6，試求點O到AB的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】分析：（1）由平行四邊形的對邊平行得∠DAC=∠BCA，由角平分線的性質得∠DAC=∠BAC，即可知∠BCA=∠BAC，從而得AB=BC，即可得證；

（2）由菱形的對角線互相垂直且平分得AO=4、BO=3且∠AOB=90°，利用勾股定理得AB=5，根據可得答案．

本題解析：

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∴∠BCA=∠BAC，

∴AB=BC，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，且AC=8、BD=6，

∴AO=4、BO=3，且∠AOB=90°，

∴AB=，

設點O到AB的距離為h，

則由S△AOB=×ABh=×AO×BO，即5h=12，

得h=，

即點O到AB的距離為．