Question

閱讀下列材料：
小貝遇到一個有趣的問題：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．現有一動點P按下列方式在矩形內運動：它從A點出發，沿著AB邊夾角為45°的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為45°的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當P點碰到BC邊，沿著BC邊夾角為45°的方向作直線運動，當P點碰到CD邊，再沿著與CD邊夾角為45°的方向作直線運動，…，如圖1所示，

問P點第一次與D點重合前與邊相碰幾次，P點第一次與D點重合時所經過的路徑的總長是多少．小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線CD折疊，得到矩形A₁B₁CD，由軸對稱的知識，發現P₂P₃=P₂E，P₁A=P₁E．
請你參考小貝的思路解決下列問題：
（1）P點第一次與D點重合前與邊相碰

 

次；P點從A點出發到第一次與D點重合時所經過的路徑的總長是

 

cm；
（2）近一步探究：改變矩形ABCD中AD、AB的長，且滿足AD＞AB，動點P從A點出發，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續兩次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上．若P點第一次與B點重合前與邊相碰7次，則AB：AD的值為

 

．

Answer 1

分析：（1）此題可通過動手畫圖來得到所求的結論，需要掌握的規律是相鄰的兩個P點與矩形頂點所構成的都是等腰直角三角形，如：△ABP₁、△P₁P₂C、△P₂DP₃等．由圖分析可知P點第一次與D點重合前與邊相碰5次，所經過的路徑的長=4AB

2

=24

2

．
（2）根據題（1）的規律，可設AB=x，BC=y，那么根據規律可知：AB=BP₁=x，CP₁=CP₂=y-x，DP₂=DP₃=x-（y-x）=2x-y，
AP₃=AP₄=y-（2x-y）=2y-2x，…依此類推，AP₇=AB=4y-4x；由于AB=x，則4y-4x=x，即4y=5x，故x：y=4：5；因此當P點第一次與B點重合前相碰7次，那么AB：AD=4：5．

解答：解：（1）5；

（2）24

2

；解題思路示意圖：

（2）AB：AD=4：5．

點評：解決此題的關鍵在與掌握P點的運動規律，能夠理解每兩個相鄰P點與矩形頂點所構成的三角形是等腰直角三角形，是解答此題的關鍵．