Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，直徑AC與弦BD的交點為E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足為H，且∠BFA＝∠DBC．

（1）求證：BF是⊙O的切線；

（2）若BH＝3，求AD的長度；

（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面積與四邊形OBCD的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AD＝6；（3）．

【解析】

（1）根據切線的判定即可證明BF是⊙O的切線；

（2）根據AC是⊙O的直徑，可得∠ADC＝90°，證明△ACD∽△BOH，對應邊，即可求出AD的長；

（3）由（2）可得△ACD∽△BOH，∠DAC＝∠OBH，再根據sin∠DAC＝，設OH＝4a，OB＝7a，可得AC＝2OB＝14a，DC＝8a，根據勾股定理得，BH＝，過C作CM⊥OB于M，再根據OB∥CD，CM⊥OB，可得CM⊥CD，由S四邊形OBCD＝S△OCD+S△OCB，進而可求出△OBH的面積與四邊形OBCD的面積之比．

解：（1）證明：∵∠DBC，∠DAC是同弧所對的圓周角，

∴∠DBC＝∠DAC，

∵∠BFA＝∠DBC，

∴∠DAC＝∠BFA，

∵OB∥CD，

∴∠BOF＝∠ACD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠BOF+∠F＝90°，

∴∠OBF＝90°，

∴OB⊥BF，

∴BF是⊙O的切線；

（2）∵BH⊥AC，

∴∠OHB＝90°，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠OHB，

∵∠BOC＝∠ACD，

∴△ACD∽△BOH，

∴，

∵BH＝3，

∴AD＝6；

（3）∵△ACD∽△BOH，

∴∠DAC＝∠OBH，

∵sin∠DAC＝＝，

∴sin∠OBH＝，設OH＝4a，OB＝7a，

∴AC＝2OB＝14a，

∴DC＝8a，

∴BH＝，

如圖，過C作CM⊥OB于M，

∵OB＝OC，

∴CM＝BH＝，

∵OB∥CD，CM⊥OB，

∴CM⊥CD，

∴S四邊形OBCD＝S△OCD+S△OCB

＝CDCM+OBCM

＝（8a+7a）×

＝，

S△OBH＝×OH×BH＝×4a×＝，

∴＝．

答：△OBH的面積與四邊形OBCD的面積之比為．