Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+1經過點（2，6），且與直線 相交于A，B兩點，點A在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E，求線段PE的最大值；
（3）在（2）的條件，設PC與AB相交于點Q，當線段PC與BE相互平分時，請求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ BC⊥x軸，垂足為點C（4,0），且點B在直線y= x+1上，

∴點B的坐標為（4,3），

∵拋物線y=ax2+bx+1經過點（2,6）和點（4,3），

∴ ，解得 ，

故拋物線的解析式為y=-x2+ +1.

（2）

解：設動點P的坐標為（x, -x2+ +1）,則點E的坐標為（x, ）,

∵PD⊥x軸于點D，且點P在x軸上，

∴PE=PD-ED=（-x2+ +1）-（ ）=-x2+4x=-(x-2)2+4,

∴當x=2時，PE有最大值4.

（3）

解：連接CE，PB，∵PC與BE互相平分，

∴四邊形PECB是平行四邊形，

∴PE=BC，

∴-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，

解得：x1=1,x2=3.

∵點Q為PC的中點，

∴①當x=1時，點P的坐標為（1， ），

由中點公式可得Q（ ， ），

∴點Q的坐標為（ ， ）.

②當x=3時，點P的坐標為（3， ），

由中點公式可得Q（ ， ），

∴點Q的坐標為（ ， ），

綜上所述，點Q的坐標為（ ， ）或（ ， ）.

【解析】（1）拋物線的解析式里有兩個未知數，需要兩個坐標的點，已知（2,6），需要求出點B坐標，因為BC⊥x軸，則B的橫坐標為4，代入直線解析式即可求出B的坐標，再把（2,6）和B的坐標代入拋物線，即可求得；（2）因為PD⊥x軸于點D，則PE=PD-DE，且PD=P的縱坐標，DE=E的縱坐標，可設P的橫從標為x，則可分別表示出P的縱坐標，E的縱坐標，即可得到PE關于x的關系式，求其最值，一般還要注意x的取值范圍；（3）由PC與BE互相平分，可得四邊形PECB是平行四邊形，則PE=BC，由（2）得PE=-x2+4x，構造方程解出x的值，再運用中點公式（ ， ）求出點Q，或者求出直線PC，再求PC與BE的交點即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．