Question

27、（1）如圖1，正方形ABCD中，E為邊CD上一點，連接AE，過點A作AF⊥AE交CB的延長線于F，猜想AE與AF的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接AC，過點A作AM⊥AC交CB的延長線于M，觀察并猜想CE與MF的數量關系（不必說明理由）；
（3）解決問題：
①王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王師傅想切一刀后把它拼成正方形．請你幫王師傅在圖3中畫出剪拼的示意圖；
②王師傅現有兩塊同樣大小的該余料，能否在每塊上各切一刀，然后拼成一個大的正方形呢？若能，請你畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據兩角互余的關系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性質即可解答；
（2）先根據正方形的性質及AM⊥AC求出AM=AC，，∠AMF=∠ACB=45°，再由△ABF≌△ADE及三角形內角和定理可求出∠MAF=∠CAE，再由SAS定理求出△AMF≌△ACE，即CE=MF；
（3）①畫出示意圖，只要求出△ABE≌△ADF，再根據此條件求出四邊形AECF是正方形即可；
②根據題意畫出示意圖即可，此時正方形的面積等于兩塊涂料面積的和．

解答：解：（1）∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
∵AB=AD，∠ADE=∠ABF，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF．（5分）

（2）CE=MF．（7分）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC，
∵△ABF≌△ADE，
∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED，即∠AFB=∠AEC，
∴∠MAF=∠EAC，
∴△AMF≌△ACE，
∴CE=MF．

（3）①如圖所示，把△ABE切下，拼到△ADF的位置，
∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，
∴四邊形AECF是正方形．

②如圖4所示，

點評：此題題量較大，涉及到正方形的性質及相似三角形的判定定理．解題的關鍵是利用全等三角形進行割補．