Question

【題目】（新知學習）

如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么我們就把這樣的三角形叫做“智慧三角形”．

（簡單運用）

（1）下列三個三角形，是智慧三角形的是______（填序號）；

（2）如圖，已知等邊三角形，請用刻度尺在該三角形邊上找出所有滿足條件的點，使為“智慧三角形”，并寫出作法；

（深入探究）

（3）如圖，在正方形中，點是的中點，是上一點，且，試判斷是否為“智慧三角形”，并說明理由；

（靈活應用）

（4）如圖，等邊三角形邊長．若動點以的速度從點出發，沿的邊運動．若另一動點以的速度從點出發，沿邊運動，兩點同時出發，當點首次回到點時，兩點同時停止運動．設運動時間為，那么為______時，為“智慧三角形”．

Answer 1

【答案】（1）①；（2）詳見解析；（3）是“智慧三角形”，理由詳見解析；（4）1，，，7

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊中線的性質即可判斷；

（2）用刻度尺分別量取AC、BC的中點D、D'，點D、D'即為所求；

（3）結論：△AEF是“智慧三角形”．利用勾股定理的逆定理證明△AEF是直角三角形即可；

（4）分當點P在線段AB上，點Q在線段BC上時和點P在線段BC上，點Q在線段AB上兩種情形分別構建方程求解即可．

（1）因為直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以①是“智慧三角形”．

故答案為：①．

（2）用刻度尺分別量取AC、BC的中點D、D'．

點D、D'即為所求．

（3）結論：△AEF是“智慧三角形“．

理由如下：如圖，設正方形的邊長為4a．

∵E是BC的中點，∴BE=EC=2a．

∵CFCD，∴FC=a，DF=4a﹣a=3a，

在Rt△ABE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2

在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2

在Rt△ADF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°．

∵直角三角形斜邊AF上的中線等于AF的一半，∴△AEF為“智慧三角形”．

（4）如圖3中，

①當點P在線段AB上，點Q在線段BC上時，若∠PQB=90°，則BP=2BQ，∴5﹣t=4t，

解得：t=1．

若∠BPQ=90°，則BQ=2PB，∴2t=2（5﹣t），∴t．

②當點P在線段BC上，點Q在線段AB上時，若∠PQB=90°，則BP=2BQ，∴t﹣5=2（15﹣2t），∴t=7，

若∠QPB=90°，則BQ=2PB，∴15﹣2t=2（t﹣5），∴t，

綜上所述：滿足條件的t的值為1或或或7．

故答案為：1或或或7．