Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B，且18a+c=0．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動．
①移動開始后第t秒時，設△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍．
②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A代入解析式求出c和a，最后根據拋物線的對稱軸求出b，即可求出最后結果．
（2）①本題需根據題意列出S與t的關系式，再整理即可求出結果．
②本題需分三種情況：當點R在BQ的左邊，且在PB下方時；當點R在BQ的左邊，且在PB上方時；當點R在BQ的右邊，且在PB上方時，然后分別代入拋物線的解析式中，即可求出結果．

解答：解：（1）∵拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意知點A（0，-12），
所以c=-12，
又18a+c=0，
a=

2

3

，
∵AB∥OC，且AB=6cm，
∴拋物線的對稱軸是x=-

b

2a

=3，
∴b=-4，
所以拋物線的解析式為y=

2

3

x2-4x-12；

（2）①S=

1

2

•2t•(6-t)=-t2+6t=-(t-3)2+9，（0＜t＜6）
②當t=3時，S取最大值為9（cm²），
這時點P的坐標（3，-12），
點Q坐標（6，-6）
若以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，有如下三種情況：
（Ⅰ）當點R在BQ的左邊，且在PB下方時，點R的坐標（3，-18），將（3，-18）代入拋物線的解析式中，滿足解析式，所以存在，點R的坐標就是（3，-18），
（Ⅱ）當點R在BQ的左邊，且在PB上方時，點R的坐標（3，-6），將（3，-6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點R不滿足條件．
（Ⅲ）當點R在BQ的右邊，且在PB上方時，點R的坐標（9，-6），將（9，-6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點R不滿足條件．
綜上所述，點R坐標為（3，-18）．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要注意分類討論思想和二次函數的圖象和性質的綜合應用．