Question

如圖，直線l：y=-2x+4交y軸于A點，交x軸于B點，四邊形OACD為正方形，點P從D點開始沿x軸向點O以每秒2個單位的速度移動，點Q從點B開始沿BA向點A以每秒個單位的速度移動，如果P，Q分別從D，B同時出發．
（1）設△PAQ的面積等于S，運動時間為t秒，當0＜t＜2時，求S與t之間的函數關系；
（2）當點Q移到AB的中點E時，P點停止移動．直線l向右平移m個單位，得到直線l₁．
如圖，直線l₁交y軸于A₁點，交x軸于B₁點，Q₁為A₁B₁的中點．△PAQ₁的面積S₁是否與m的值有關？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出A和B點的坐標，當0＜t＜2時，DP=2t，BQ=t，在Rt△AOB中，求出AB的長度，作QF⊥OB于F，結合題干條件，證明△QFB∽△AOB，用t表示出QF，S=S_△PBA-S_△PBQ，進而求出S與t之間的函數關系；
（2）方法一、設OD的中點為G，則當點Q移到AB的中點E時，P點與G點重合，△PAQ₁的面積即為△GAQ₁，利用題干條件求出△GAQ₁的面積是個常數即可；
方法二：作Q₁M⊥OB₁于M，根據題干條件用m分別表示出OB₁、OA₁、MB₁、OM，再根據S₁=S_△AOB+S_梯形AOMQ1-S_△GMQ1，求出S₁是一個常數即可；
解答：解：（1）∵直線l：y=-2x+4交y軸于A點，交x軸于B點，
∴A（0，4），B（2，0）
∴OA=4，OB=2，
依題意，得OD=OA=4，
當0＜t＜2時，DP=2t，BQ=t，
∴PB=DB-DP=6-2t，
在Rt△AOB中，AB=，
作QF⊥OB于F，
∵AO⊥OB，
∴AO∥QF，
∴△QFB∽△AOB，
∴，
∴，
S=，
∴S=S_△PBA-S_△PBQ=，
∴S=2t²-10t+12．

（2）△PAQ₁的面積S₁與m的值無關，S₁=4．理由如下：
設OD的中點為G，則當點Q移到AB的中點E時，P點與G點重合，
△PAQ₁的面積即為△GAQ₁．
解法一：∵Q₁為A₁B₁的中點，
∴OQ₁=B₁Q₁，
∴∠B₁OQ₁=∠OB₁Q₁，
∵l∥l₁，
∴∠ABO=∠OB₁Q₁，
∵OG=OB=2，AO⊥OB，
∴AG=AB，
∴∠ABO=∠AGO，
∴∠B₁OQ₁=∠AGO，
∴AG∥OQ₁，
∴△PAQ₁的面積S₁=S_△AGO=，
∴S₁的值為4，與m的值無關．
解法二：依題意，得OB₁=2+m，
∵l∥l₁，
∴△A₁0B₁∽△AOB，
∴，
∴，
如圖，作Q₁M⊥OB₁于M，
∵AO⊥OB，
∴AO∥Q₁M，
∵Q₁為A₁B₁的中點，
∴，，
∴，
∴S₁=S_△AOB+S_梯形AOMQ1-S_△GMQ1
=
=4                                               
∴S₁的值為4，與m的值無關．
點評：本題主要考查一次函數的綜合題的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質以及分割法求三角形的面積，此題難度較大，特別是第二問證明S1的面積是一個常數，但是解答此問的時候也不止一種方法，希望同學們根據自己喜歡的方法解答即可．