Question

【題目】已知：如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間t（s），解答下列各問題：

（1）經過秒時，求△PBQ的面積；

（2）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（3）是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=1秒或t=2秒時，△PBQ是直角三角形．（3）無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．

【解析】試題分析：（1）根據路程=速度×時間，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面積公式進行解答即可；

（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據BP，BQ的表達式和∠B的度數進行求解即可．

（3）本題可先用△ABC的面積-△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數關系式，然后另y等于三角形ABC面積的三分之二，可得出一個關于t的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可

試題解析：（1）經過秒時，AP=cm，BQ=cm，

∵△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，

∴AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=3-=cm，

∴△PBQ的面積=BPBQsin∠B=×××=；

（2）設經過t秒△PBQ是直角三角形，

則AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=（3-t）cm，

△PBQ中，BP=（3-t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

當∠BQP=90°時，BQ=BP，

即t=（3-t），t=1（秒），

當∠BPQ=90°時，BP=BQ，

3-t=t，t=2（秒），

答：當t=1秒或t=2秒時，△PBQ是直角三角形．

（3）過P作PM⊥BC于M，

△BPM中，sin∠B=，

∴PM=PBsin∠B=（3-t），

∴S△PBQ=BQPM=t（3-t），

∴y=S△ABC-S△PBQ=×32×-×t×（3-t）

=t2-t+，

∴y與t的關系式為y=t2-t+，

假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的，

則S四邊形APQC=S△ABC，

∴t2-t+=××32×，

∴t2-3t+3=0，

∵（-3）2-4×1×3＜0，

∴方程無解，

∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．