Question

【題目】二次函數的圖象經過點（﹣1，4），且與直線相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．

（1）求二次函數的表達式；

（2）點N是二次函數圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，MN和NC互相垂直平分．

【解析】

（1）先求得A、B的坐標，再利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；

（2）設M的橫坐標是x，則根據M和N所在函數的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標，利用x表示出MN的長，利用二次函數的性質求解；

（3）BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則BC=MC，據此即可列方程，求得x的值，從而得到N的坐標．

（1）由題設可知A（0，1），B（﹣3，），根據題意得：

解得，則二次函數的解析式是；

（2）設N()，則M、P的坐標分別為，，∴MN=PN-PM=，則當時，MN的最大值為；

(3)連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即，且，解得，故當時，MN和NC互相垂直平分．