Question

【題目】在數學探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：已知：C是線段AB所在平面內任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側作等邊△ACE和△BCD，連結AD、BE交于點P．

（1）如圖1，當點C在線段AB上移動時，線段AD 與BE的數量關系： ．

（2）如圖2，當點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理由．

（3）如圖3，在（2）的條件下，以AB為邊在AB另一側作等邊三角形△ABF，連結AD、BE和CF交于點P，求證：PB+PC+PA=BE．

Answer 1

【答案】（1）AD=BE；（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發生變化，始終是60°；（3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）直接寫出答案即可．

（2）證明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此為解題的關鍵性結論；借助內角和定理即可解決問題．

（3）如圖，作輔助線，證明△CPA≌△CHE，即可解決問題．

試題解析：（1）∵△ACE、△CBD均為等邊三角形，

∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，

∴∠ACD=∠ECB；

在△ACD與△ECB中，

，

∴△ACD≌△ECB（SAS），

∴AD=BE，

（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發生變化，始終是60°．

證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形

∴EC=AC，BC=DC，

∠ACE=∠BCD=60°，

∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；

在△ECB和△ACD中，

∴△ECB≌△ACD（SAS），

∴∠CEB=∠CAD；

設BE與AC交于Q，

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°

∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，連接HC，

則△PCH為等邊三角形，

∴HC=PC，∠CHP=60°，

∴∠CHE=120°；

又∵∠APE=∠CPE=60°，

∴∠CPA=120°，

∴∠CPA=∠CHE；

在△CPA和△CHE中，

，

∴△CPA≌△CHE（AAS），

∴AP=EH，

∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．