Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC交拋物線的對稱軸于點E，D是拋物線的頂點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）直接寫出點C和點D的坐標；
（3）若點P在第一象限內的拋物線上，且S△ABP=4S△COE ， 求P點坐標． 注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（﹣ ， ）

Answer 1

【答案】
（1）解：由點A（﹣1，0）和點B（3，0）得 ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）解：令x=0，則y=3，

∴C（0，3），

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

（3）解：設P（x，y）（x＞0，y＞0），

S△COE= ×1×3= ，S△ABP= ×4y=2y，

∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4× ，

∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，

解得：x1=0（不合題意，舍去），x2=2，

∴P（2，3）．

【解析】（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)b、c的值，進而可得到拋物線的對稱軸方程；（2）令x=0，可得C點坐標，將函數(shù)解析式配方即得拋物線的頂點C的坐標；（3）設P（x，y）（x＞0，y＞0），根據(jù)題意列出方程即可求得y，即得D點坐標．
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質和二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）．