Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，點P在對角線AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圓．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)．

【解析】（1）連結OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據菱形的性質得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切；

（2）連結BD，交AC于點F，根據菱形的性質得DB與AC互相垂直平分，則AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根據勾股定理得到AD==2，求得AE=，設⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R，根據勾股定理列方程即可得到結論．

（1）連結OP、OA，OP交AD于E，如圖，

∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°．

∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°．

∵四邊形ABCD為菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，

∴直線AB與⊙O相切；

（2）連結BD，交AC于點F，如圖，

∵四邊形ABCD為菱形，∴DB與AC互相垂直平分．

∵AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，

∴DF=2，∴AD==2，∴AE=．

在Rt△PAE中，tn∠1==，∴PE=．

設⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R．

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，

∴R=，即⊙O的半徑為．