Question

【題目】如圖，有一塊分別均勻的等腰三角形蛋糕（AB=AC且AB≠BC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．
這條分割直線既平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條直線為三角形的“等分積周線”．

（1）小明很快就想到了一條經過點A分割直線，請你用尺規作圖在圖1中畫出這條“等分積周線（不寫畫法）．
（2）小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖2中過點C畫了一條直線CD交AB于點D．你覺得小華會成功嗎？請說明理由．
（3）若AB=BC=5，BC=6，請你通過計算，在圖3中找出△ABC不經過頂點的一條“等分積周線”．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作線段BC的中垂線AM，如圖1所示．

∵AM是BC的中垂線，

∴BM=CM，

∴S△ABM=S△ACM，

∵AB=AC，

∴AB+BM=AC+CM．

∴直線AM是△ABC的等分積周線

（2）

解：小華不會成功．

若直線CD平分△ABC的面積，過點C作CE⊥AB于點E，如圖2所示．

由S△ACD=S△BCD，得 ADCE= BDCE，于是BD=AD．

∵AC≠BC，

∴AD+AC≠BD+BC，

所以小華不會成功

（3）

解：設直線EF與AB、BC分別交于點E、F，直線EF符合條件，如圖3所示．

作EG⊥BC于點G，AH⊥BC于點H，得BH=CH=3，AH=4，S△ABC=12．

設BF=x，則BE= （AB+AC+BC）﹣BF=8﹣x．

∵EG∥AH，

∴△BEG∽△BAH，

∴ ，

∴ = ，于是EG= （8﹣x）

∵S△EBF= S△ABC，

∴ x （8﹣x）=6

解得 x=3（舍去，因此時EF過點A）或x=5

∴BF=5，BE=3．

∴直線EF符合條件

【解析】（1）作線段BC的中垂線即可．（2）小華不會成功．如圖2所示．假設直線CD平分△ABC的面積，過點C作CE⊥AB于點E，再證明AD+AC≠BD+BC即可．（3）如圖3所示，設直線EF與AB、BC分別交于點E、F，直線EF符合條件，作EG⊥BC于點G，AH⊥BC于點H，得BH=CH=3，AH=4，S△ABC=12，設BF=x，則BE= （AB+AC+BC）﹣BF=8﹣x，由△BEG∽△BAH，得 ，求出EG，利用面積列出方程即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．