Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如圖1，當A′B′∥AC時，設A′C與AB相交于點D．證明：△BCD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接A′A、B′B，設△ACA′和△BCB′的面積分別為S_△ACA′和S_△BCB′．求：S_△ACA′與S_△BCB′的比；
（3）如圖3，設AC中點為E，A′B′中點為P，BC=a，連接EP，求：角θ為多少度時，EP長度最大，并求出EP的最大值．

Answer 1

（1）證明：如圖1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠CBA=60°（直角三角形的兩個銳角互余）．
∵A′B′∥AC，
∴∠ACA′=∠CA′B′，
又由旋轉的性質知，∠CA′B′=∠CAB=30°，
∴∠ACA′=∠CAB=30°，即θ=30°，
∴∠A′CB=∠ACB-θ=90°-30°=60°，
∴∠CDB=60°，
∴在△CDB中，∠DCB=∠CBD=∠BDC=60°，
∴△BCD是等邊三角形；

（2）證明：如圖2，由旋轉的性質可知AC=CA₁，BC=CB₁，
∴

AC

BC

=

CA1

CB1

，
又由旋轉的性質知，∠ACA₁=∠BCB₁
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=AC²：BC²=(

3

)2：1=3：1；

（3）如圖，連接CP，當△ABC旋轉到△A′B′C的位置時，
此時θ=∠ACA′=150°，EP=EC+CP=

1

2

AC+

1

2

A′B′=

1

2

×

3

a+

1

2

×2a=

3 +2

2

a．
即角θ150°時，EP長度最大，其最大值是

3 +2

2

a．