Question

【題目】如圖，為菱形對角線的交點，是射線上的一個動點（點與點，，都不重合），過點，分別向直線作垂線段，垂足分別為，，連接，．

（1）①當點在線段上時，在圖1中依據題意補全圖形：

②猜想與的數量關系為 ．

（2）小東通過觀察、實驗發現點在線段的延長線上運動時，（1）中的猜想始終成立．

小東把這個發現與同學們進行交流，通過討論，形成了證明此猜想的幾種想法：

想法1：由已知條件和菱形對角線互相平分，可以構造與全等的三角形，從而得到相等的錢段，再依據直角三角形斜邊中線的性質，即可證明猜想；

想法2：由已知條件和菱形對角線互相垂直，能找到兩組共斜邊的直角三角形，例如其中的一組和，再依據直角三角形斜邊中線的性質，菱形四條邊相等，可以構造一對以和為對應邊的全等三角形，即可證明猜想．

…

請你參考上面的想法，在圖2中幫助小東完成畫圖，并證明此猜想（一種方法即可）．

（3）當時，請直接寫出線段，，之間的數量關系是 ．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②OE=OF；（2）見解析；（3）EF=CF+AE．

【解析】

（1）①由題意直接補全圖形即可；②取線段AB，BC的中點P，Q，連接OP，PE，OQ，QF，由菱形的性質得出AB=BC，AC⊥BD，由P，Q是AB，BC的中點，得出OP=PB=AB，OQ=QB=BC，則OP=OQ，同理，PE=QF，證得∠OPE=2∠OBE，∠OQF=2∠OCF，再證得∠OBE=∠OCF，得出∠OPE=∠OQF，由SAS證得△OPE≌△OQF，即可得出結論；

（2）想法1、先判斷出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性質即可得出結論；

（3）先判斷出四邊形OPBQ是菱形，再判斷出∠EOF=∠POQ=90°，再借助等腰直角三角形的性質即可得出結論．

解：（1）①補全的圖形如圖1所示：

②OE=OF；理由如下：

取線段AB，BC的中點P，Q，連接OP，PE，OQ，QF，

如圖1-1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AC⊥BD，

∵P，Q是AB，BC的中點，

∴OP=PB=AB，OQ=QB=BC，

∴OP=OQ，

同理，PE=QF，

∵OP=PB，PE=PB，

∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA，

∴∠OPA-∠EPA=2∠OBA-2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE，

同理，∠OQF=2∠OCF，

∵AC⊥BD，CF⊥BM，

∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．

∴∠OBE=∠OCF，

∴∠OPE=∠OQF，

在△OPE和△OQF中，

，

∴△OPE≌△OQF（SAS），

∴OE=OF；

故答案為：OE=OF；

（2）想法1：

證明：延長EO交FC的延長線于點N，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO=CO，

∵AE⊥BM，CF⊥BM，

∴AE∥CF，

∴∠AEO=∠CNO，

在△AOE和△CON中，

，

∴△AOE≌△CON（ASA），

∴OE=ON=EN，

∵Rt△EFN中，O是斜邊EN的中點，

∴OF=EN，

∴OE=OF；

（3）如圖3所示：

由（2）想法1，得出△AOE≌△CON，

∴AE=CN，OE=ON，

由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，

∵四邊形ABCD是菱形，

由（2）知，OP=BP=OQ=BQ．

∴四邊形OPBQ是菱形，

∴∠POQ=90°

由（2）想法2，得出△OPE≌△OQF，

∴∠POE=∠QOF，

∴∠EOF=∠POQ=90°，

∴∠FEN=45°，

在Rt△EFN中，∠FEN=45°，

∴EF=FN=CF+CN=CF+AE．

故答案為：EF=CF+AE．