Question

將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖（1）方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．
（1）求證：CF=EF；
（2）若將圖（1）中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角a，且0°＜a＜60°，其他條件不變，如圖（2）．請你直接寫出AF+EF與DE的大小關系：AF+EF

 

DE．（填“＞”或“=”或“＜”）
（3）若將圖（1）中△DBE的繞點B按順時針方向旋轉角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖（3）．請你寫出此時AF、EF與DE之間的關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC=BE，根據直角三角形的“HL”定理，易證△BCF≌△BEF，即可證得；
（2）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AC=AF+CF=AF+EF，即AF+EF=DE；
（3）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．

解答：（1）證明：連接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，

BC=BE BF=BF

，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF，
∴CF=EF；

（2）AF+EF=DE；
故答案為：=；

（3）證明：連接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，

BC=BE BF=BF

，
∴△BCF≌△BEF，
∴CF=EF；
∵AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質，學生應熟練掌握證明三角形全等的幾個判定定理及其性質．