Question

如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是△ABC內任意一點，連結MC并延長到E，使得CE=CM，以MA、MB為鄰邊做?MADB，對角線交點為F，連接DE．
（1）求證：①DE⊥AB；②DE=AB；
（2）若△ABC為等邊三角形，猜想（1）中的兩個結論是否成立？若成立，直接寫出結論；若不成立，請直接寫出你的猜想結果．

Answer 1

分析：（1）首先連接CF，由四邊形ADBM是平行四邊形，可得AF=BF，DF=MF，又由等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可得CF⊥AB，CF=

1

2

AB，然后由三角形中位線的性質，證得CF∥DE，CF=

1

2

DE，繼而證得結論；
（2）首先連接CF，由四邊形ADBM是平行四邊形，可得AF=BF，DF=MF，又由等邊三角形的性質，可得CF⊥AB，CF=

3

2

AB，然后由三角形中位線的性質，證得CF∥DE，CF=

1

2

DE，繼而證得結論．

解答：證明：（1）連接CF，
∵四邊形ADBM是平行四邊形，
∴AF=BF，DF=MF，
又∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴CF⊥AB，CF=

1

2

AB，
又∵MC=CE，
∴CF∥DE，CF=

1

2

DE，
∴DE⊥AB，DE=AB；

（2）①成立，②DE=

3

AB．
∵四邊形ADBM是平行四邊形，
∴AF=BF，DF=MF，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴CF⊥AB，CF=

3

2

AB，
又∵MC=CE，
∴CF∥DE，CF=

1

2

DE，
∴DE⊥AB，DE=

3

AB．

點評：此題考查了平行四邊形的性質、等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質以及三角形中位線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．