Question

【題目】如圖，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于點M，有FM=EM．

（1）求證：AE∥CF；

（2）若AM平分∠FAE，求證：FE垂直平分AC．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）先根據AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出結論；

（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根據∠EAM=∠FCM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，通過證明△AME≌△CMF，得到AM=CM，由等腰三角形三線合一的性質即可得出結論．

（1）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．

又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF；

（2）∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM．

又∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM，∴AF=FC．

在△AME和△CMF中，∵∠AME=∠CMF，∠EAM=∠FCM，EM=FM，∴△AME≌△CMF，∴AM=CM，∴EF垂直平分AC．