Question

（2004•蕪湖）在鈍角△ABC中，AD⊥BC，垂足為D點，且AD與DC的長度為x²-7x+12=0方程的兩個根，⊙O是△ABC的外接圓，如果BD長為a（a＞0）．求△ABC的外接圓⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：要求三角形外接圓的面積，則需要求得該圓的半徑．首先運用因式分解的方法解一元二次方程，求得的方程的根即是AD和CD的長；因為AD和CD的大小不確定，所以這里應分情況討論．要求三角形的外接圓的半徑，應作直徑，構造直角三角形，根據正弦定理進行求解．
解答：解：延長AO交圓O與點E，連接BE，則∠ABE=90°．
∵AD與DC的長度為一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，
∴有兩種情況：
①AD=3，DC=4；
②AD=4，DC=3；
在Rt△ADC中，sinC=，
由正弦定理=2R，
可得=AE，
即AE=•AC，
當AD=3，DC=4時，
AC=5，
∴．
⊙O的面積為，
當AD=4，DC=3時，
AB=，
∴AE=，
∴⊙O的面積為π•=．
點評：此題的難點是求三角形外接圓的半徑．注意：正弦定理，在△ABC中，=2R（R應是三角形的外接圓的半徑）．