Question

【題目】如圖1，AD為△ABC的中線，延長AD至E，使DE＝AD．

（1）試證明：△ACD≌△EBD；

（2）用上述方法解答下列問題：如圖2，AD為△ABC的中線，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求證：BG＝AC．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）根據中線的定義，即可得到BD＝CD，再根據SAS即可判定△ACD≌△EBD．

（2）延長AD到F，使AD＝DF，連接BF，根據SAS證△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根據AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根據等腰三角形的性質求出即可．

（1）證明：∵AD是△ABC的中線，

∴BD＝CD，

在△ACD和△EBD中，

，

∴△ACD≌△EBD（SAS）．

（2）證明：延長AD到F，使AD＝DF，連接BF，

∵AD是△ABC中線，

∴BD＝DC，

∵在△ADC和△FDB中

，

∴△ADC≌△FDB（SAS），

∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，

∵AM＝GM，

∴∠CAD＝∠AGM，

∵∠AGM＝∠BGF，

∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，

∴BG＝BF＝AC，

即BG＝AC．