Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，，，

（1）連結OD，求證；

（2）求CD的長；

（3）求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；

（2）6；
（3）.

【解析】

（1）連結OD，因為弦AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD，即，所以OD⊥CB；

（2）連結BD，則∠ADB=90°，因為AB=10，AD=8，所以BD=6，因為，所以CD=BD=6；

（3）證△CDE∽△ADC，可求得DE的長，進而得出AE的長．

解：（1）如圖，連結OD，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，

∴

∴OD⊥CB；
（2）如圖，連結BD，CD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=10，AD=8，
∴，
∵，

∴CD=BD=6，
（3）∵∠DCB=∠DAB，∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠DCE，
∵∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴,即,

∴,

∴.