Question

【題目】已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，點M是CE的中點，連接BM.

（1）如圖①，點D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點N，可探究得出BD與BM的數量關系為______________；

（2）如圖②，點D不在AB上，（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由.

Answer 1

【答案】BD=BM

【解析】（1）根據等腰直角三角形的性質，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知BD=BM；

（2）先證明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于點N，證出△DBF是等腰直角三角形，根據點M是DF的中點，得出△BMD是等腰直角三角形，即可得出BD=BM．

（1）∵∠ABC=∠ADE=90°，

∴ED∥BC，

∴∠DEM=∠MCB，

在△EMD和△CMN中

∴△EMD≌△CMN（ASA），

∴CN=DE=DA，MN=MD，

∵BA=BC，

∴BD=BN，

∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，

∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，

∴△BMD為等腰直角三角形．

∴BD=BM，

（2）結論成立．

證明：過點C作CF∥ED，與DM的延長線交于點F，連接BF，

可證得△MDE≌△MFC，

∴DM=FM，DE=FC，

∴AD=ED=FC，

作AN⊥EC于點N，

由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，

可證得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，

∵CF∥ED，

∴∠DEN=∠FCM，

∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，

∴△BCF≌△BAD，

∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，

∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∵點M是DF的中點，

則△BMD是等腰直角三角形，

∴BD=BM．