Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點O為原點，邊OA的長度為8，對角線AC=10，拋物線y=x2+bx+c經過點A、C，與AB交于點D．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S．

①求S關于m的函數表達式并求出S最大時的m值；

②在S最大的情況下，在拋物線y=x2+bx+c的對稱軸上，若存在點F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x+x+8 (2)①m=5②F1（，8），F2（，4）， (,6+) ， (,6-)．

【解析】分析：（1）先根據勾股定理求出OC長度，進而確定點C坐標；將A、C兩點坐標代入拋物線y=x2+bx+c，即可求得拋物線的解析式；
（2）①先用m表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數；
②分類討論，寫出滿足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫．

詳解：（1）在矩形OABC中，∠AOC=90°，

由勾股定理可得，OC=，∴C（6，0），

將A（0，8）、C（6，0）兩點坐標代入拋物線，得

，

解得， ，

∴拋物線的解析式為；

（2）如圖：①過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠，

∴，

∴QE=（10﹣m），

∴S=，

∵S=，

∴當m=5時，S取最大值；

②在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的對稱軸為x=，

D的坐標為（3，8），Q（3，4），

當∠FDQ=90°時，F1（，8），

當∠FQD=90°時，則F2（，4），

當∠DFQ=90°時，設F（，n），

則FD2+FQ2=DQ2， ，

解得，n=，

∴F3（， ），F4（， ），

綜上所述，滿足條件的點F共有四個，坐標分別為F1（，8），F2（，4），F3（， ），F4（， ）．