Question

根據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括為“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，并且

1

2

（9-1）=4，

1

2

（9+1）=5和

1

2

（25-1）=12，

1

2

（25+1）=13
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：勾為n（n≥3，且n為奇數(shù)）時有：股=

1

2

（n²-1），弦=

1

2

（n²+1）分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式？
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，用n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾，股，弦，合理猜想它們之間的兩種等量關(guān)系并對其中一種猜想加以證明？
（3）繼續(xù)觀察①4，3，5；②6，8，10；②8，15，17；…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過，運用類似上述的探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m≥4）的代數(shù)式來表示它們的股和弦．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的勾股數(shù)之間的關(guān)系列出關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)勾股數(shù)及勾股數(shù)平方之間的關(guān)系可猜想關(guān)系式1：弦-股=1；關(guān)系式2：勾²+股²=弦²，再列式證明即可；
（3）根據(jù)所給的勾股數(shù)找出三個數(shù)之間的關(guān)系即可．

解答：解：（1）7，24，25的股的算式是：

1

2

(49-1)=

1

2

(72-1)，（2分）
弦的算式是：

1

2

(49+1)=

1

2

(72+1)；（1分）

（2）當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥3時，勾、股、弦的代數(shù)式分別是：n，

1

2

(n2-1)，

1

2

(n2+1)，（2分）
猜想關(guān)系式1：弦-股=1；關(guān)系式2：勾²+股²=弦²，
例如關(guān)系式1證明：
弦-股=

1

2

(n2+1)-

1

2

(n2-1)=1，（2分）
或關(guān)系式2證明：
勾²+股²=n2+[

1

2

(n2-1)]2=

1

4

n4+

1

2

n2+

1

4

=

1

4

(n2+1)2=弦²，
∴猜想成立；

（3）當(dāng)m為偶數(shù)，且m≥4時，
股、弦的代數(shù)式分別是：(

m

2

)2-1，(

m

2

)2+1．（2分）

點評：本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、證明即可．