Question

根據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括為“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，并且（9-1）=4，（9+1）=5和（25-1）=12，（25+1）=13
發現規律：勾為n（n≥3，且n為奇數）時有：股=（n²-1），弦=（n²+1）分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式？
（2）根據（1）的規律，用n（n為奇數，且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾，股，弦，合理猜想它們之間的兩種等量關系并對其中一種猜想加以證明？
（3）繼續觀察①4，3，5；②6，8，10；②8，15，17；…可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用類似上述的探索的方法，直接用m（m為偶數，且m≥4）的代數式來表示它們的股和弦．

Answer 1

解：（1）7，24，25的股的算式是：，
弦的算式是：；

（2）當n為奇數，且n≥3時，勾、股、弦的代數式分別是：，
猜想關系式1：弦-股=1；關系式2：勾²+股²=弦²，
例如關系式1證明：
弦-股=，
或關系式2證明：
勾²+股²==弦²，
∴猜想成立；

（3）當m為偶數，且m≥4時，
股、弦的代數式分別是：．
分析：（1）根據所給的勾股數之間的關系列出關系式即可；
（2）根據勾股數及勾股數平方之間的關系可猜想關系式1：弦-股=1；關系式2：勾²+股²=弦²，再列式證明即可；
（3）根據所給的勾股數找出三個數之間的關系即可．
點評：本題屬規律性題目，考查的是勾股數之間的關系，根據題目中所給的勾股數及關系式進行猜想、證明即可．