Question

【題目】探究：如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連結EF，求證：EF=BE+DF．

應用：如圖②，在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=∠BAD，若EF=3，BE=2，則DF= ．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）如圖①中，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE′，只要證明△AFE≌△AFE′即可解決問題．

（2）如圖②中，將△ABE繞點A旋轉到△ADE′位置連接E′F．，只要證明△FAE≌△FAE′得EF=FE′，在RT△E′DF中利用勾股定理即可解決問題．

試題解析：（1）如圖①中，

在正方形ABCD中，∵AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，

把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE′，

∵∠ADF=∠ADE′=90°，

∴點F、D、E′共線，

∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，

在△AFE和△AFE′中，

，

∴△AFE≌△AFE′，

∵EF=FE′=DE′+DF=DE+DF．

（2）如圖②中，

因為AB=AD，所以可以將△ABE繞點A旋轉到△ADE′位置，連接E′F．

∵∠B+∠ADF=90°，∠B=∠E′DA，

∴∠E′DF=∠E′DA+′ADF=90°，

∵∠BAE+∠DAF=∠EAF，∠E′AD=∠BAE，

∴∠E′AF=∠EAF，

在△FAE和△FAE′中，

，

∴△FAE≌△FAE′，

∴EF=FE′=3，

在RT△E′DF中，∵∠E′DF=90°，E′F=3，DE′=BE=2，

∴DF=．