Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，點P是CB邊上的一點，且tan∠PAC＝，⊙O是△APB的外接圓．

（1）求證：∠PAC＝∠ABC；

（2）求證：AC是⊙O的切線；

（3）求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）通過證明△ACP∽△BCA，可得∠PAC=∠ABC；

（2）作直徑AD，交⊙O于點D，連結PD，由圓周角定理可求∠PDA=∠PAC=∠ABC，可證AD⊥AC，即可得⊙O與直線AC的位置關系；
（3）利用銳角三角函數可求CP，PD的長，由勾股定理可求AP的長，AD的長，可得⊙O的半徑．

解：（1）證明：在Rt△ACP中，tan∠PAC＝＝，

∵AC＝2，BC＝4，

∴＝，

∴＝，

∵∠PCA＝∠ACB＝90°，

∴△ACP∽△BCA，

∴∠PAC＝∠ABC；

（2）證明：如圖，作⊙O的直徑AD，交⊙O于點D，連接PD，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠APD＝90°，

∴∠PAD＋∠PDA＝90°，

∵∠PDA＝∠ABC，∠PAC＝∠ABC，

∴∠PDA＝∠PAC，

∴∠PAC＋∠PAD＝90°，

∴∠CAD＝90°，

∴AD⊥AC，

∵AD為⊙O的直徑，

∴AC是⊙O的切線；

（3）∵tan∠PAC＝＝，AC＝2，

∴PC＝1，

∴AP＝＝

∵∠PDA＝∠PAC，

∴tan∠PAC＝tan∠PDA＝＝，

∴PD＝2AP＝，

∴AD＝，

∴⊙O的半徑為．